Maximale en minimale waarden – Een benadering van calculus

Maximale en minimale waarden - Een benadering van calculus welke punten van zijnMAXIMUM EN MINIMUM
WAARDEN

De keerpunten van een grafiek

W E ZEGGEN DAT EEN FUNCTIE f (X ) Een relatief maximum waarde bij X = een.
als f (een ) is groter dan enige waarde onmiddellijk voorafgaande of volgenden.

We noemen het een "familielid" maximum omdat andere waarden van de functie kan in feite groter.

We zeggen dat een functie f (X ) Een relatieve minimumwaarde X = b.
als f (b ) is minder dan enige waarde onmiddellijk voorafgaande of volgenden.

Wederom andere waarden van de functie kan zelfs minder zijn. Met dat begrip, dan zullen we de term relatieve laten vallen.

De waarde van de functie, de waarde van Y. hetzij in een maximum of een minimum heet een extreme waarde.


Nu, karakteriseert de grafiek een extreme waarde?

De raaklijn aan de curve horizontale. We zien dit op de punten EEN en B. De helling van elke raaklijn – de derivaat wanneer geëvalueerd een of b — 0 is.

Bovendien punten onmiddellijk de links ten hoogste – een punt C — de helling van de raaklijn positief. f ‘ (X ) gt; 0. Terwijl punten onmiddellijk de rechts — een punt D — de helling is negatief: f ‘ (X ) 2 − 6X + 5.

Zijn er kritieke waarden – elke keerpunten? Als dat zo is, doen ze een maximum of een minimum te bepalen? En wat zijn de coördinates op de grafiek van dat maximum of minimum?

X = 3 is de enige kritische waarde. Het is de X -coördinate van het keerpunt. Het bepalen van Y -coördinate, evalueren f op dat kritieke waarde — schatten f (3):

f ” geëvalueerd aan de kritische waarde 3 – f ” (3) = 2 – is positief. Dit vertelt ons algebraïsch dat de kritische waarde 3 bepaalt een minimum.

We kunnen nu zeggen deze voldoende voorwaarden voor extreme waarden van een functie bij een kritische waarde een :

De functie heeft een minimumwaarde X = een als f ‘ (een ) = 0
en f ” (een ) = Een positief getal.

De functie heeft een maximale waarde bij X = een als f ‘ (een ) = 0
en f ” (een ) = Een negatief getal.

Bij de maximale, de helling van de raaklijn afnemende — het gaat van positief naar negatief. We kunnen zien dat op de punten C. EEN. D .

Zijn er extreme waarden. In de eerste plaats zijn er kritieke waarden – oplossingen f ‘ (X ) = 0 – en zij bepalen een maximum of een minimum? En wat zijn de coördinates op de grafiek van dat maximum of minimum? Waar zijn de keerpunten?

De minimale treedt op bij het punt (2, 1).

Hier in feite is de grafiek van f (X ):

oplossingen f ” (X ) = 0 wijzen op een buigpunt bij deze oplossingen, geen maximum of minimum. Een voorbeeld is Y = X 3. y ” = 6X = 0 impliceert X = 0. Maar X = 0 is een buigpunt in de grafiek van Y = X 3. geen maximum of minimum.

Een ander voorbeeld is Y = sin X . De oplossingen y ” = 0 zijn het vermenigvuldigen van pi;. die buigpunten zijn.

Probleem 1. Zoek de coördinates van de top van de parabool,

Om het antwoord te zien, Ga met uw muis over de gekleurde gebied.
Om het antwoord weer te dekken, klikt u op "verversen" ("Reload").
Doe het probleem zelf eerst!

dat impliceert X = 4. Dat is de X -coördinate van het hoekpunt. Om het te vinden Y -coördinate, evalueren Y op X = 4:

Y 4 = 2 − 8· 4 + 1 = −15.

De vertex is op (4, −15).

Probleem 2. Controleer elke functie voor de maxima en minima.

De tweede afgeleide is negatief. Dat betekent dat er een maximum bij X = 0. Dat maximumwaarde

y ” (2) = 12 − 6 = 6.

De tweede afgeleide is positief. Dat betekent dat er een minimum aan X = 2. Dat minimum waarde

Y (2) 2 = 3 − 3· 2 2 + 2 = 8 − 12 + 2 = −2.

Op X = 1 is maximaal Y = 17.

Op X = −2 is minimaal Y = −10.

Sinds f ‘ (X ) = 0 geen echte oplossingen, er geen extreme waarden.

Op X = 0 er maximaal Y = 2.

Op X = −1 is minimaal Y = −3.

Op X 2 = er is een minimum aan Y = −30.

Maak een donatie aan TheMathPage online te houden.
Zelfs $ 1 zal helpen.

auteursrechten © 2017 Lawrence Spector

Vragen of opmerkingen?

Bron: www.themathpage.com

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

10 + twintig =